人类早期为了数猎物、果实等物体的需要，逐渐产生了数。人的手指就是最早的计数工具。随着生产力的不断发展，人们在实践中接触的数目越来越多，也越来越大，因而需要给所有自然数命名。但是自然数有无限多个，如果对于每一个自然数都给一个独立的名称，不仅不方便，而且也不可能，因而产生了用不太多的数字符号来表示任意自然数的要求，于是，在产生记数符号的过程中，逐渐形成了不同的进位制度。
十进制的起源
世界上的多数民族都不约而同地采用了“满十进一”的十进制。十进制，以及由它衍生出来的百进制、千进制等共同规范了我们的算术体系。时至今日，它已是我们生活中最不可缺少的一部分。我国使用十进制的历史，可以一直追溯到商代。
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商代中期已产生一套十进制数字和记数法，从已发现的商代陶文和甲骨文中，我们可以看到当时已能够用一、二、三、四、五、六、七、八、九、十、百、千、万等十三个数字，记十万以内的自然数。这些记数文字的形状和写法在后世虽有所变化，但这种记数方法却一直被沿袭，并日趋完善。
周代金文的纪数法继承了商代的十进制， 又有明显的进步，十进数量级符号有十、百、千、万、亿，如西周金文“伐鬼方……俘万三千八十一人”，“武王遂征四方，俘人三亿万有二百三十”，出现了位值记数，例如 “俘牛三百五十五“，其中三百五十五写成“三全XX”，前面的“全”是金文的“百”，后面两个XX是五十五，省去了“十”，出现了位置概念，但尚未形成完整的位值制。春秋战国时期出现了严格的十进位制筹算记数，也发明了用于十进位制乘法、除法的九九表。
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根据公元4世纪的《孙子算经》的记载，任何数都是由九个纵排数字和九个横排数字按个、百、万等用纵筹，十、千等用横筹来表示，零用空位表示。这是完整的十进位值制。不仅如此，借助于位值制，用算筹还可以表示分数、小数、负数、二次和高次方程、线性方程组、多元高次方程组等。算筹和位值制奠定了中国数学长于计算的基础。
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玛雅数字
除了中国之外，在其他地方也出现了类似的十进制记数法，比如古印度，古希腊等等。亚里士多德曾经说过，人类普遍使用十进制，只不过是因为人生来就有十根手指。与此相对的，已经退出历史舞台的玛雅数学使用的是二十进制，考古学家猜测这是因为他们在数数的时候除了手指，还加上了脚趾头的缘故。英语单词Digit(数字)可以指手指或脚趾，单词five(五)和单词fist(拳头)有相同的词根，出现这种情况也并不是巧合。
在纯数学的层面上说，十进制因子太少，只有2，5两个，而十二进制，数码只比十进制多两个，因子却有2，3，4，6四个。从这个层面来看十进制并不是最优秀的进制，但是因为在生理上具有普适的优点，方便理解，也最容易被不同地方的人接受，所以比起十二进制，二十进制，六十进制这些方法，十进位制的记数法堪称古代世界最流行，也是最先进、最科学的记数法，对世界科学和文化的发展有着不可估量的作用。
不同的进位制记数法
这个世界上绝不是仅有十进制。在数学发展史上，不同时代，不同地域也使用不同的进制法。比如电脑使用的二进制，星期是七进制，月份是十二进制，时间是六十进制等等。
二进制的写法只有两种数码：0和1。它是逢二进一，借一当二。与十进制相比，二进制最简单，只需要两个基本数值，但是使用起来却很麻烦。试想原始人打猎，获得三个猎物就得进一位，获得五个就又得进一位，进位频繁会造成位数太多，计算容易发生错误。
八进制是逢八进一，也就是可以用0,1,2,3,4,5,6,7表示个位，当到8的时候变成了两位数10,我们一般在八进制数10前面加上0,八进制数的10就变成了010了，010表示的是8。八进制是有其优越性的，因为它是二的倍数，又是二的倍数的倍数，似乎优于十进制；它之所以没能流行，还是因为人类的习惯。
十六进制是逢十六进一，也就是可以用0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D，E,F表示个位，其中A,B,C,D，E,F分别表示十进制中的10,11,12,13,14,15，当数到16的时候就要进位了，为了和十进制区别，用0x10表示，0x10表示的不是10，而是16。十六进制在中国近代还在使用，只限于重量单位，十六两为一斤。可能的来源是这样：把一斤重的东西平分一次就是二分之一斤，再继续平分就是四分之一斤，再继续平分就是八分之一斤，继续分就是十六分之一斤，也就是一两了。
各种进制与十进制的转换
十进制有以下两个特点：使用的数字有 0、1、2、3、4、5、6、7、8、9 共 10 种。数位有一定的意义，从右往左分别表示个位、十位、百位、千位……
接下来我们以2503这个数为例。把2503拆分，是2个1000、5个100、0个10和3个3累加的结果。因此，我们可以把2503写成以下形式：
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千位、百位、十位、个位，分别可以称作这个数字的（10的3次方）的位、（10的2次方）的位、（10的1次方）的位、（10的0次方）的位。十进制记数法的数位全都是（10的n次方）的形式。这个10便可以被称为十进制记数法的基数或底。
在十进制记数法的基础上类推，很快就可以掌握二进制的规则。二进制使用的数字只有0、1两种。从右往左分别表示1位、2位、4位、8位……
这里出现的8、4、2、1，分别表示
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所以在二进制中，基数为2，各个数位以2的n次方的形式表现。因此，我们可以把二进制下的1100写成以下形式：
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二进制转十进制
如此计算，就能将二进制记数法的1100，转换为十进制记数法规则下的数字：
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十进制转二进制
那么，十进制要怎么转化为二进制呢？其实很简单：除就行了！
我们将十进制下的2503转换为二进制记数法，如下图所示，我们需要将2503反复地除以2，并观察余数为“1”还是“0”。
随后再将每步所得的余数的列（1和0的列）逆向排列，由此就可以得到这个数二进制的表示。结果就是100111000111。
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在十进制中2503只有4位，而在二进制中要表达同样的数则是12位数字。
有了十进制和二进制做铺垫，我们可以按图索骥，得出八进制记数法的特征如下：使用的数字有0、1、2、3、4、5、6、7共8种。
从右往左分别为（8的0次方）的位、（8的1次方）的位、（8的2次方）的位、（8的3次方）的位……（基数是8）
八进制转十进制
拿八进制数226举例（由右向左依次乘以8的n次幂，n从零开始），转成十进制数就是：
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十进制到八进制
十进制数转成八进制数只需要除8取余数 最后把余数倒过来。
比如十进制数字2456 转化成八进制数字：
2456÷8=307，余0；
307÷8=38，余3；
38÷8=4，余6；
4÷8=0，余4。
将所有余数倒序相连，得到结果：4630。
因此十进制的2456转换为八进制结果为4630。
十六进制记数法的特征如下：
使用的数字有0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、A、B、C、D、E、F共16种。
从右往左分别为（16的0次方）的位、（16的1次方）的位、（16的2次方）的位、（16的3次方）的位……（基数是16）
十六进制转十进制
拿十六进制数96来举例（由右向左依次乘以16的n次幂，n从零开始）
9×161+6×160=150
所以十六进制数96转化成十进制数就是150
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十进制转十六进制
同样十进制数转成十六进制数就要除16再倒着取余数。
比如说：十进制数1610转换成十六进制
1610÷16=100……10(A)；
100÷16= 6……4；
6 ÷16= 0……6；
因此十进制1610=十六进制64A
由上面的例子可以总结出N进制记数法的特征如下：
使用的数字有0，1，2，3，…，N-1，共N种。
从右往左分别为（N的0次方）的位、（N的1次方）的位、（N的2次方）的位、（N的3次方）的位……（基数是N）
转换规则就是
n进制转换为十进制：
n进制上的每一个数字乘以位权再把它们全部加起来。（位权是指数制中每一固定位置对应的单位值）
十进制转换为 n进制：
整数部分不停地除以n，直到商为0，记录下每次的余数，从最后一个余数开始逆向排列。
编辑：张子杰
责任编辑：李伶
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