集合论的发现的悖论动摇了数学的根基，伯特兰·罗素的逻辑主义似乎能稳固数学基础，为数学提供必要的根基。然而随着鸿篇巨制的《数学原理》第二卷的出版，逻辑主义开始衰落，尽管这套书备受推崇，但读的人很少。通过各种方法，罗素的逻辑主义避开了各种悖论，但不能确保其体系不再产生矛盾。

20世纪的早期，希尔伯特在不变量理论和变分法方面做出了开创性的工作，并出版了一本极具影响的几何学著作。因此被多国选为科学院院士，并荣获德国政府的枢密院顾问头衔，可谓声名卓著。

形式主义的开端

希尔伯特受邀在第一届巴黎国际数学大会上做演讲，在演讲中他谈到当时最富挑战性的10个问题，开头三个都是关于数学基础的。

第一个问题，证明康托尔的连续统假设。

第二个问题，寻求算术公理一致性的证明一一也就是说，证明用基于这些公理的有限逻辑步骤永远不会导致矛盾的结果。

第三个问题，公理化那些数学在其中扮演重要角色的物理科学。

对于数学的基础本身，正如他在演讲中所说：“证明(算术)公理的相容性的同时，也是在证明实数或连续统的完备系的数学存在。”

然而直到4年后第二次国际数学大会的时候，出现了各种悖论，面对数学基础问题，很多数学家已经产生了不确定的感觉。希尔伯特看到：“事情的现状是难以忍受的。只要想想，每一个人在数学中学的、教的和用的定义和演绎方法一一确定性的典范和真理一一都将导致谬论，这是多么可怕的现实！如果数学思考是有缺陷的，我们到哪里去找真理和确定性？”

希尔伯特基于自己在几何公理化上的成功，期望把同样的方法用到所有的数学中去。于是对大会建议：“我相信，我所设计的所有问题都是可以征服的，通过我称之为公理化的方法，能够得到一个完全会让人满意的数字概念基础。”

希尔伯特企图建立一个更普遍的公理化体系，也即算术公理体系和从它们开始的推导步骤。同时，他认为罗素的悖论是由语句的模糊造成的。在这样的背景下，希尔伯特的形式主义学派诞生了。

在后来，在以形式主义者著称的人的工作基础上，包括如庞加莱和库蒂拉特在内的其他人也做过一些早期的工作。这些零散的成果被希尔伯特汇集起来，从而产生了由一个名人和一批追随者组成的学派。那时，希尔伯特是欧洲最重要的数学家之一，他的主张自然很受重视。

但在20世纪早期，形式主义还只是一些粗糙的，没有明确阐述的观念。然而在数学的基础研究中，那些领先的成果开始从英国传到德国，从罗素传到希尔伯特。这种发展势头引发了一个问题：有些人会超范围使用自己吸取的一个观点。在夸张的形式下，形式主义成了一种讽刺：认为数学仅仅是一种处理未标记的和未经诠释的符号的方法，因此它不过是一种没有多大意义的游戏。因此，希尔伯特给他“未经诠释的”几何符号加上了额外的诠释因素，使其符号能用形式规则处理。

然而，荷兰数学家鲁伊兹·E·J·布劳威尔有一个与希尔伯特针锋相对的立场，他正是后来被称为直觉主义学派的旗手。

希尔伯特

在20世纪的头10年，希尔伯特是当时最伟大的数学家。1862年，他生于柯尼斯的郊区，并在那里接受早期的教育。1880年，进入柯尼斯堡大学，5年后，获得博士学位，1895年，成为哥廷根大学的正教授。在那时，希尔伯特展现出在数学方面的广泛兴趣和卓越能力。在他整个学术生涯中，其原创性贡献几乎涵盖所有的数学领域。

在某种程度上得益于希尔伯特日益增长的声誉，哥廷根大学的声誉也在急速地增长，同时该校一直吸引着其他正在成长中的重要数学家、教员、学生。比如：赫尔曼·闵可夫斯基，希尔伯特聘他做教员，后来成了希尔伯特亲密的朋友和同事；大学在1899年招策梅洛作无薪讲师；18岁的“农村小伙子”赫尔曼·外尔在1903年来到哥廷根。后来，在新泽西州普林斯顿高等研究院工作时，外尔写道：“那一个学期，希尔伯特宣布开设关于数字的概念和求圆的面积的课，我擅自去听了。对我来说，大部分课都太难了，但一扇新世界的大门为我打开了。”

希尔伯特早期的作品《几何基础》将他引回这个数学领域，该书是他运用皮亚诺的原理，用一种严格的公理化方式重新构造欧几里得几何的尝试，尽管没有使用皮亚诺复杂的符号系统。皮亚诺意在将数学用形式语言来表达，而不借助直觉。而希尔伯特认为用欧几里得几何作为几何的模板和基础是错误的；欧几里得几何有演绎式的结构，但充满隐藏的假定、不准确的定义和逻辑错误。希尔伯特希望为几何建立一个更稳固的基础，同时也消除对直觉的依赖。

希尔伯特也注意到了几何学的其他进展。19世纪早期，尼古拉·罗巴切夫斯基、雅诺什·波尔约、本哈德·黎曼和卡尔·高斯已经着手非欧几何的工作。从而为了整合几何，再整合数学，使之更明确，希尔伯特认为，剔除某些假设是有必要的。

希尔伯特因为支持康托尔，卷入了冲突。他还认为克罗内克的执着威胁了数学的进展。克罗内克想将数学与高度主观的直觉基础紧密联系起来，通过逐步建构，将数学限制在一个真切实在的世界里。而希尔伯特只要求逻辑表达的一致性。他确信，对于克罗内克极力反对的无理数，不应该排除在数字的世界之外，否则分析领域将沦为不毛之地。

此外，希尔伯特还认为：“对无穷的性质进行最后的澄清已经变得很有必要，这不仅是为了各门科学的专门利益，也是为了人类对自身理智的尊严。”为了加强数学的基础，支持康托尔在无穷上的观念将是必要的。

布劳威尔

鲁伊兹·埃格伯图斯·简·布劳威尔通常以简称L·E·J·布劳威尔闻名。1881年2月27日生于奥威斯切。阿姆斯特丹大学本科时，在四维空间的连续运动上做出了原创性工作。这使得位于阿姆斯特丹的皇家科学院在他还未毕业时就出版了他的著作。从1904至1907年，他从事哲学和神秘主义的研究。1905年，他写了一本书，名为《生命，艺术和神秘主义》。作为一个神秘主义者，他否认准确交流的可能性和语言的作用。这使他对形式主义带有感情色彩。

布劳威尔是个天才是不容置疑的，同时愤世嫉俗、自私自利、神经过敏、情绪化和顽固这样的词也是人们对他的描述和评价。在布劳威尔的传记中，范·达伦写道：“布劳威尔是一个神经过敏的人，压力之下，他很容易夸大事实。另外，他对正义有种极端的热情。正如路德维希·比贝尔巴赫所说，他是一个正义狂。结果，他会在一种完全像是战争的情势中遭遇不正义一一不管是针对谁。”

作学生的布劳威尔，不善与人相处，回避社交。在朋友指引下，学会了参加社会活动。慢慢地，他极度渴望结交朋友，而且高谈阔论成癖。1907年，他获得阿姆斯特丹大学数学和物理学博士学位。在那里，他的兴趣延伸到了拓扑学和数学基础，而且在其一生中，都作出重要贡献。

关于庞加莱和罗素间的争论，他认为：虽然逻辑主义可能在某些场合有用，但不能为数学提供一个稳固的基础。罗素宣扬数学依赖于逻辑，而布劳威尔主张逻辑依赖于数学。另外，尽管希尔伯特还没有完全发展出形式主义的观点，但他了解到希尔伯特有足够多他不喜欢的东西。作为天才的使者，他怎么可能做得到无视，要无视也是无视希尔伯特的地位，于是他批评希尔伯特的观点。

有趣的是，尽管布劳威尔激烈批评希尔伯特的计划，但似乎不影响希尔伯特对布劳威尔的感觉。也可能是因为布劳威尔的论文是用荷兰文写的，流传不广。在1909年，在迷人的海滨度假胜地席凡宁根，布劳威尔和希尔伯特成功的晤谈，布劳威尔向希尔伯特展现了他的语言和数学水平。在一封给朋友的信中，还形容希尔伯特为“世界上首屈一指的数学家。”1912年，希尔伯特不仅帮布劳威尔推荐了阿姆斯特丹大学的一个教授职位；1919年，希尔伯特还给他提供了哥廷根大学的一个教授职位一一这绝对是一个晋升。但布劳威尔拒绝了，直到退休，他一直呆在阿姆斯特丹大学。

在拓扑学上的成就和基础数学上的观念为布劳威尔赢得了声誉，但他在直觉主义上的观点在一开始的时候还是不被广为接受。1912年，他被选为荷兰皇家科学院成员。此后，柏林的普鲁士科学院、美国哲学会、伦敦的皇家学会都选他为成员。还获得了几个荣誉博士学位。此时的布劳威尔也有了一定的地位和声誉。

1908年，一篇名为《关于逻辑原理的不可靠性》的论文认为：运用排中律的数学证明是不合理的。排中律是一个基本的、常用的逻辑定律。排中律宣称每一个数学表述要么对，要么错，其他可能性都是不允许的。

布劳威尔认为排中律是用得过于自由的逻辑原理的典型。这个原理是所谓间接证明方法的基础，这种方法允许用常规逻辑或利用矛盾的反证法。在这里，如果某命题不正确，就可以通过实证产生一个逻辑矛盾来证明某些命题正确。布劳威尔拒绝接受排中律，坚持认为第三种情况是存在的。他使用“未决的”这个词来称呼那些通过有限的推导步骤还不能决定是对还是错的表述。他经常置疑建立在排中律基础上的数学证明，并称其是“所谓的证明“。

1920年，他声称：“将排中律用作数学证明的一部分，是不允许的……（它）只具有学理和启发的价值，因此那些在证明中不能避免使用这个原理的定理是缺乏数学内涵的。”

希尔伯特回应道：“把排中律排除在数学之外就像……禁止拳手使用拳头一样。”

布劳威尔的限制显得有些极端，要知道很多人都难以接受，尤其是经常使用排中律的数学家和科学家。

第二年，布劳威尔开始宣传他的观点，这开始成为他余生的事业。尽管在1909和1913年，布劳威尔在拓扑学领域取得了优异的成果，但他没有发表拓扑学方面的任何演讲。上过他课的巴特尔·L·范德瓦尔登说：“看起来，他不再确信他在拓扑学中的成果，因为从直觉主义的观点来说，它们不是正确的。他以前所做的工作、他最伟大的成就和他的错误，他都按照他的哲学来作评判。他是一个很奇怪的人，疯狂地爱着他的哲学。”

布劳威尔在1919年的论文《直觉主义的集合论》中指出：他早期的拓扑学研究从直觉主义观点来看是不正确的。他接着说，这些工作中的大部分都可以用直觉主义框架来补救。他列举了不动点定理等例子来说明：直觉主义形式如何得到证明。

1917至1920年，布劳威尔进一步发展直觉主义观点，包括沿着直觉主义思路发展集合论。1920年后，他向外界发布了自己关于直觉主义的成果，直接挑战希尔伯特的工作。更糟的事情是，发表过一篇关于分析基础方面的名为《连续统》的论文的外尔，这时转变了立场。1921年，外尔又发表一篇新文章对自己的新立场进行解释，说在某种程度上，希尔伯特的方法将所有的东西都简化成了一种游戏。要知道，希尔伯特曾指望自己这位优秀的学生能成为一个忠实的追随者。1920年春天，在外尔写的一份稿件上，布劳威尔写了这样的评论：“你毫无保留的支持给了我无穷的快乐……在一些小地方，我们有不同意见，这只会给我们更多激励。”

反击

1922年希尔伯特通过一篇针对外尔和布劳威尔两人的文章开始反击：首先陈述了他对数学基础比当前所取得的成就更需要深入研究的信念。接着写道：“杰出的、成就卓著的数学家外尔和布劳威尔正在通过肯定是错误的途径来寻找这些问题的解决方法。”然后解释了这样说的原因，并陈述他的观点。

希尔伯特谨慎地指出，他针对连续统基础的方法“并不与直觉相悖。我们从直觉中得出的外延量概念不依赖于数的概念，因此如果我们在数与质量数或数量之间做一个基本的区分，它就会与直觉完全一致。”他接着写道，其他人都曾经仔细研究过这个问题，“如果外尔在这里看到了一个'基础的内部不稳定，而整个（数学）帝国都建立在这个基础上。’如果他担心‘分析体系的瓦解即将到来’，那么他是见着鬼了。”

希尔伯特接着说：

当然，证明公理一致性的问题出现了。这是一个很出名的问题，几十年来我一直关注它。这个报告就是关于这个问题的解决方法的。

外尔和布劳威尔所做的基本上是沿着以前克罗内克所走的老路。抛弃所有令他们不快的现象，并按照克罗内克的方式建立专政来加以禁止，他们寻求通过这种方式来为数学树立基础。但这意味着肢解并毁坏我们的科学，如果我们追随这些改革者，我们将冒失去很大一批最宝贵财富的危险……我相信，就像克罗内克在当年不能消除无理数一样……今天，外尔和布劳威尔也将行不通他们的计划。不，布劳威尔不是外尔所相信的那样是一个革命者，而是一个重复者，他用着旧工具，尝试在当时用横冲直撞的方法发动一场政变，但还是彻底失败了。现在弗雷格、戴德金和康托尔加入了进来，这个阵营有了更多的武装，力量更强了，这种政变注定要失败。

在文中，为回应外尔和布劳威尔的抨击，他提出了要为形式主义的学派树立了一个更新、更牢固的基础。并提出了对分析公理一致性的证明的大概想法，把数论建立在数“1”和符号“+”的基础上。“当我们用这种方法发展数论时，不需要公理，也不可能有任何矛盾产生。”多年以后的1936年，杰出的德国数学家格哈德·根岑最终成功地找到了关于超限过程完整而正确的分析方法。”利用根岑的新方法，人们认识到希尔伯特的证明论是一个极有力的数学工具，尤其对计算机科学有帮助。

面对“叛变”的外尔，希尔伯特把他与布劳威尔当作一个团伙来抨击，无视两人对对直觉主义的诠释等观点的不同。大约1925年，外尔开始稍微远离布劳威尔的直觉主义。从那时起，希尔伯特主要集中火力在布劳威尔的身上，同时无视外尔的转变。比如1928年，希尔伯特提起“他的学派将一切都简化为一个游戏”这个批评，并做出回应。

希尔伯特与布劳威尔的争端存在于两个水平面上，且两人都认识到这点，理解这一点很重要。除此之外，也有个人竞争，都在一个更广的意义上把自己看作救世主。另外，希尔伯特的担心：“如果数学失败了，人类的精神也会失败。”

1928年，在对希尔伯特新方法的一个回应中写道：“所有这些表明，形式主义从直觉主义那里没有直接接受任何东西，但却从中受启发多，而且它还有望受益更多。”因此形式主义学派应该给直觉主义点赞，而非轻蔑、攻击。并且指出形式主义应该认识到一个事实：在形式主义的框架内，迄今为止，正确的数学知识没有哪一样得到了保护。

“在另一方面，直觉主义……已经建立了有着不可置疑确定性的数学新基础。”对布劳威尔来说，包括形式主义者的语言在内的任何语言，都是有用的，但仅限于交流。布劳威尔的一个博士生阿伦德·海廷在1930年恰当地写道：“建立一套与直觉主义的数学等同的规则系统在理论上是不可能的，因为思考的可能性不能简化为有限几步预先建立的规则。”

无情的攻击

尽管布劳威尔没有希尔伯特那么有名，但在数学界也树立了牢固的声誉。1925年和1926年，他开始在诸如《数学年鉴》这样的杂志上发表论文。1914年，被光荣地任命为该杂志编辑部的成员，从此，他谨慎并慢条斯理地为杂志工作着。

布劳威尔暴躁的脾气在杂志的编辑中产生了负面影响。费利克斯·克莱因是该杂志的主编之一，他因为和布劳威尔发生争执而决定辞职。事实上，这场争执中，布劳威尔是对的，但他表现得太粗鲁了。这着实让人震惊，因为克莱因已经为《数学年鉴》工作多年，在某种程度上，他已成为总编辑，为杂志的成功作出了巨大的贡献。

同时，希尔伯特也是《数学年鉴》的主要编辑之一，这对布劳威尔来说很不幸。在克莱因辞职之后，希尔伯特接手了大部分的工作，这使得该杂志开始有了“属于”哥廷根大学数学家的名声。

《数学年鉴》之战

在1928年10月底，布劳威尔收到一封来自希尔伯特的信：

亲爱的同事：

既然我们俩在基础问题上的观点无法调和，我和你合作是不可能的了。我已经就授权问题征求过《数学年鉴》执行编辑部成员们的意见，布鲁门萨尔和卡拉西奥多里（奥托和康斯坦丁，是另外两位执行编辑，阿尔伯特·爱因斯坦是第四位）已经授权我通知你，从今往后，我们将放弃与你在编辑《年鉴》上的合作，因此也把你的名字从刊名页上删去。同时，我感谢你以《年鉴》的名义，为我们杂志的利益在过去所做的努力！ 

敬礼！ D·希尔伯特

希尔伯特这么做的主要的原因似乎是希尔伯特：1925年11月，他已经被诊断出有恶性贫血，他想确保自己死后，布劳威尔的观点不会继续在《年鉴》成员中间潜移默化。还有一个个人的原因：希尔伯特认为布劳威尔刚愎自用、难以捉摸、飞扬跋扈；希尔伯特担心自己离开了编辑部，布劳威尔可能会迫使编辑部屈从他的意志。

因为第一次世界大战，德、法两国数学家之间的关系紧张。希尔伯特认为，早先用来缓和这种紧张关系的机会被布劳威尔破坏了。如1926年，他们已经计划出版一本纪念本哈德·黎曼的文集，来纪念他诞辰100周年。希尔伯特曾想收入一位重要的法国数学家保罗·潘勒韦写的论文。然而在1918年，潘勒韦曾激烈地谴责德国的科学界。希尔伯特和其他人认为潘勒韦后来已经不再抱有敌意，但布劳威尔坚定地认为收入潘勒韦的作品是对德国数学成就的侮辱。但是杂志运作的民主程序，使得这本书最终没有收入任何法国数学家的文章。

在杂志清理门户事件中，希尔伯特同样需要获得其他执行编辑的默许。他从布鲁门萨尔和卡拉西奥多里那里得到了不同程度的默许。同时，希尔伯特写信给爱因斯坦，请求他作为编辑的一员允许他给布劳威尔发一封辞退信。在他给出的理由中，有一条是：布劳威尔在以前一封信函中不仅侮辱了他（希尔伯特），而且还侮辱了大部分德国数学家;布劳威尔持有“对同情外国数学家有鲜明的敌对立场。他（希尔伯特）认为把哥廷根大学当作《年鉴》主要基地是一个好主意”。但爱因斯坦回信拒绝了他：做你认为该做的，但我不能在这样一封辞退信上签名。

希尔伯特精心谋划弄了一封辞退信，布劳威尔把这封辞退信当作一种巨大的侮辱，这一打击让他“神经发作”，并且发烧病了好几天。尽管他没有立即做出反击，但也够快的了。事后他写信给卡拉西奥多里：

亲爱的同事： 经过细致的考虑和广泛的咨询，我不得不采取这样的态度：你发出的对我的要求（最先的辞退信是卡拉西奥多里发出的）一一它是在希尔伯特在头脑不健全的时候发出的一一是无效的，除非这封信是希尔伯特夫人和节尔伯特的医生写的。

敬礼 L·E·J·布旁威尔

在勾心斗角的某种游戏中，这封信可能是个很聪明的反击。但在这种情势下，正如布鲁门萨尔所说的，它会被看成是封“可怕而惹人憎恶的信”。

布劳威尔不屈不挠，写信给希尔伯特夫人，请求她给丈夫吹吹枕边风。并送了一份抄件给编辑部的另一名成员理查德·柯朗。柯朗居然去拜访了希尔伯特夫人，事后回复布劳威尔：在这件事上，希尔伯特不受任何人的影响。

于是布劳威尔在更大的范围向所有的编辑们倾诉：希尔伯特关于缺少合作的说法是一个烟幕，因为他们之间已有多年没有通信；直到那时，还没有人对他提出过任何反对意见；执行编辑们把希尔伯特的健康状况看得比他（布劳威尔的）的权利和尊严还重，这是不公平的；这次事件，使《年鉴》正在以它的权威性和科学内容为代价做出牺牲。

在这场冲突中，除了爱因斯坦之外的编辑们都站在了希尔伯特一边。布劳威尔是仅有的三个非德籍编辑中的一个，多少算是个圈外人。这或许是其中一个原因。但他给卡拉西奥多里的信中说希尔伯特“头脑不健全”，最有可能决定了他的命运。

于是，布劳威尔和编辑部的一个普通编辑路德维希·比贝尔巴赫一起到柏林去见出版商费迪南德·斯普林格。同时两人发出警告说，如果辞退令被执行，《年鉴》和斯普林格出版社的利益都会受损。布劳威尔还威胁说要创办一个竞争性的杂志，但斯普林格不在意这种威胁。

原先与希尔伯特不合的布鲁门萨尔现在坚定地站在希尔伯特一边，他也拿出了一封信给整个编辑部传阅，以此答复布劳威尔的指责。他指出这样一点：布劳威尔确实是一个非常尽责和活跃的编辑，但他和执行编辑们的关系相处得很不好，他还常常让作者们处于难以忍受的困境。

尽管如此，辞退还不能生效，还需要爱因斯坦的同意。爱因斯坦的同事马克思·波恩极力以个人的名义劝说爱因斯坦。在11月27日的回信中，爱因斯坦清楚地表明他严格中立的立场。同时写信给布劳威尔和布鲁门萨尔说：“很遗憾，我像一只无知的羔羊甩入了数学的'狼群’……因此，请允许我保持我的'既不嘘又不呸’的态度，也请允许我扮演一个对他们的行为感到不可思议的角色。”

布劳威尔给编辑们发了一封信：指责希尔伯特和布鲁门萨尔在《年鉴》编辑部里有“侵占”行为。德克·范·达伦解释说，在这里，布劳威尔使用这个词（侵占）有着隐含的寓意。布劳威尔认为，因为信任，《年鉴》交付给了以（御国）数学家群体为主的编辑们托管，而因为希尔伯特的行为，这种信任被破坏了。在此信之后，布劳威尔接着来了最后一击：一封长信谈了他对为什么他不应该被解雇的基本看法，包括对克莱因事件的另一种解释。

最后辞退生效，解散老编辑部，组成一个明显不同地新班子。正如1929年新的封面上所显示的，只有出版者的名字，没有编辑成员的名字，至少没有显示在封面上，但希尔伯特的名字还保留在封面上。

胜利者和新支持者

看上去，希尔伯特赢了。德克·范·达伦曾仔细研究过这场战争，他称这整个事件是一场因错误而造成的悲剧，虽然他认为希尔伯特对布劳威尔很恼火是可以理解的。希尔伯特担心，一旦有机会，布劳威尔就会把《年鉴》变成直觉主义的堡垒，有趣的是布劳威尔自己的期刊《数学论文集》也没有发挥这种功能。

在余下的36年里，布劳威尔做了很多旅行和演讲，但主要集中在数学的其他领域。对基础问题来说，他自我孤立、反复无常。

布劳威尔同几个追随者一起在直觉主义上做了一些研究，但激动人心的时刻已经过去了。尽管作为一个学派的直觉主义不大可能成为一个主导力量，但如果他能够继续坚韧不拔地走下去，直觉主义可能会有更大的影响。作为一个竞争者，形式主义看起来非常受人欢迎。但希尔伯特的胜利并没有维持多长时间，因为在1930一1931年，年轻的奥地利逻辑学家哥德尔提出了一个证明，该证明在根本上表明希尔伯特的形式主义计划不可能得到实施。哥德尔的成果震动了整个数学界，也击垮了希尔伯特对解决所有数学问题的乐观信念。

但希尔伯特坚定的乐观心态使他不愿相信这一切。1931年，他在最后的广播讲话中说：“Wir mussen wissen．Wir mussen wissen”（我们必须知道，我们应该知道。）这句话也刻在了他的墓碑上。1943年，他去世了。

颇有意味的长期结果就是：哥德尔的论文几乎彻底摧毁了形式主义，于是只有仍然活着的直觉主义者能够高昂着头说：“我告拆过你这些。”但是一般而言，数学家们倾向于避开基础问题和数学哲学问题。

在《数学杂志》的一篇文章中，恩斯特·斯莱帕写道：

不过，三个学（逻辑主义、形式主义、直觉主义）仍然有很强大的影响，既然他们曾给我们很多新颖和美妙的数学知识。这些数学知识主要关注集合论，直觉主义和建构主义者对它的各种修正，以及数学逻辑和它的很多分支（包括为计算机发展所作的基础研究)。但是，虽然这种数学经常被称为“数学的基础”，但是不能因为我们在这些领域之一工作，我们就可以宣称，我们在改进数学哲学。同几何或分析一样，现代数学逻辑、集合论和修正过的直觉主义，现在是数学的技术分支。如果我们不直接转回到数学哲学上来，我们就不要指望能为我们的科学找到一个坚实的基础。很明显，对于技术型的数学研究来说，这样一个基础是不必要的，但在我们中间，还是有很多人渴望找到它。

确实，基础而统一的数学理论仍然是难以界定的。斯莱帕相信：“数学基础的关键隐藏在逻辑主义、直觉主义和形式主义的哲学根基之中。"

编辑：朱佳伟

责任编辑：李伶

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